BWLexikon | Mathematik
Lagrange-Methode
Die Lagrange-Methode (Lagrange-Ansatz, Lagrange-Verfahren) bestimmt das Maximum oder Minimum einer Funktion unter einer Nebenbedingung. Typische Anwendungen sind der höchste Nutzen bei gegebenem Budget oder die niedrigsten Kosten bei gegebener Menge.
Vorgehensweise
- Lagrange-Funktion aufstellen: Zielfunktion plus Lagrange-Multiplikator λ mal Nebenbedingung, die nach null umgestellt ist
L(x, y, λ) = f(x, y) + λ · (c − g(x, y))
- Partiell ableiten nach x, y und λ und alle Ableitungen gleich null setzen, siehe Ableitungsregeln
- λ eliminieren: Die ersten beiden Bedingungen durcheinander teilen
- Einsetzen in die Nebenbedingung und auflösen
Beispiel
Maximiere den Nutzen U = x · y unter der Budgetbedingung 2x + 4y = 40.
L = x · y + λ · (40 − 2x − 4y)
- Ableitung nach x: y − 2λ = 0
- Ableitung nach y: x − 4λ = 0
- Ableitung nach λ: 40 − 2x − 4y = 0
Aus den ersten beiden Bedingungen folgt y / x = 2 / 4, also x = 2y. Eingesetzt: 2 · 2y + 4y = 40, damit y = 5 und x = 10. Der Nutzen beträgt 50.
Bedeutung des Lagrange-Multiplikators
λ gibt an, um wie viel der optimale Zielwert steigt, wenn die Nebenbedingung um eine Einheit gelockert wird. Im Beispiel ist λ = 2,5: Ein Euro mehr Budget erhöht den Nutzen um etwa 2,5.
Lagrange-Methode im Video erklärt
Verwandte Begriffe
Ableitungsregeln | Tausch-Edgeworth-Box | Engel-Kurve
Von Claudius Thelen, Postdoc an der Universität Greifswald. Erstmals veröffentlicht am 30. November 2023.